算法如何改变价格竞争？

定价算法通常被视为提高决策效率的工具：更及时地观察竞争者，更频繁地调整报价，更准确地回应市场变化。但当竞争双方都采用这类工具时，企业反应速度的提高，是否也意味着价格竞争更加充分？

Rohit Lamba 与 Sergey Zhuk 在《Pricing with Algorithms》中给出了一个值得认真推敲的理论结果。在他们构建的双寡头模型中，企业选择自动执行的价格反应规则；规则响应迅速，却只能在间隔一定时间后修改。在两价格设定和常用利润函数下，所研究的马尔可夫完美均衡最终都通向共同的垄断价格。¹

我对这篇论文的兴趣，首先在于它如何改变价格竞争的分析单位。算法既决定当前报价，也规定企业对竞争者的后续反应。后一种作用，使算法成为暂时约束自身行为、进而影响对手选择的手段。要理解高价结果如何出现，需要先把价格、规则以及修改规则的机会区分开来。

从价格到价格反应规则

在直接选择价格的模型中，企业的行动是自己的报价。本文则将行动写成一个映射：

$$s_i:p_j\mapsto p_i$$

其中，$p_j$ 是竞争者的价格，$p_i$ 是企业自己的价格。算法 $s_i$ 规定企业在观察到对方报价后，采用什么价格回应。

这一变化看似简单，却扩展了企业能够作出的承诺。“无论对手报什么价格，我都保持低价”，与“对手低价时我低价，对手高价时我高价”，是两条不同的规则。面对一个低价对手，两者产生相同的当前报价；一旦对手考虑涨价，两条规则对应的收益就会分开。

因此，观察此刻的价格组合，还不足以判断双方处于怎样的策略关系。对手需要考虑的，包括自己的行动会触发什么回应，以及这套回应方式能够维持多久。

这里的“算法”并不要求机器学习。作者采用简单的确定性价格映射，意在识别快速响应和暂时承诺的作用。学习复杂市场环境的能力被尽量简化，因而不宜用“人工智能学会了合谋”概括本文。

两个时间尺度与暂时承诺

模型中有两家企业，消费者按照泊松过程随机到达市场，每人至多购买一单位产品。给定双方价格，消费者向企业 $i$ 购买的概率为 $d(p_i,p_j)$。边际成本被标准化为零，因此企业从一次消费者到达中获得的预期利润为：

$$\pi(p_i,p_j)=p_i\,d(p_i,p_j)$$

模型最重要的时间安排，是把执行算法与修改算法分开。

给定双方规则，价格在很短的间隔 $\Delta t$ 内更新：

$$p_i(t+\Delta t)=s_i\bigl(p_j(t)\bigr)$$

企业修改算法的机会，则按照另一个泊松过程到来，其到达率记为 $\mu$。双方修改机会相互独立，通常不同步。价格可以频繁变化，但负责调价的规则会运行一段时间，直至企业获得下一次修改机会。

这就是论文中的“暂时承诺”：在两次修改之间，企业将报价交由已选定的规则执行。对手因此能够围绕一条相对稳定的反应规则作出决策。承诺的对象是调价方式，价格本身仍然可以迅速变化。

作者还假设，调整算法的一方能够观察或迅速识别对手当前的算法。在有限价格集合和简单映射下，试探不同报价可以帮助企业识别对手规则；当响应足够快时，这种试探的成本很低。现实中的复杂算法是否满足这一条件，需要另作判断。

快速响应也使初始调价过程的收益影响可以近似忽略。固定算法组合如果收敛到某个价格对，分析就主要关注该稳定结果；如果进入循环，则在允许循环的设定中使用循环内的平均收益。因而，$\Delta t$ 足够小既是一项技术简化，也支撑着承诺机制：对手的规则来不及修改，价格回应却已经发生。

我将这组设定理解为相互配合的三个条件：回应迅速，规则暂时稳定，规则能够被识别。单独强调“调价速度快”，会遗漏另外两个条件。

企业如何选择下一条规则

经过简化，模型被转化为一个交替选择算法的动态博弈。作者重点研究马尔可夫完美均衡：企业获得修改机会时，根据对手当前使用的算法选择回应；对同一家企业而言，再次面对同一条对手规则，会作出相同选择。

这里的限制针对策略所使用的信息。企业无需记录此前全部互动历史，但仍然考虑未来收益。它会预期自己今天选择的规则，将怎样影响对手下一次修改算法，以及此后的市场结果。

用 $s$ 表示对手当前的算法，企业选择 $s'$ 时权衡的是：

$$(1-\beta)\,\pi(s',s)+\beta\,v_i(s')$$

这里的 $\pi(s',s)$ 表示由两条算法所诱导的阶段收益，$v_i(s')$ 表示自己采用 $s'$ 后、进入对手下一次决策阶段时的延续价值。模型中的有效贴现因子为：

$$\beta=\frac{\mu}{r+\mu}$$

其中，$r$ 是时间贴现率，$\mu$ 是算法修改机会的到达率。在其他条件相同时，修改机会越频繁，等待下一次策略调整所需的时间越短，未来阶段的权重也越高。

这一表达式把模型的两个决策层次连接起来：算法在较快的时间尺度上根据价格执行回应，企业在较慢的时间尺度上选择算法，并计算这条规则对未来互动的影响。马尔可夫策略对历史的简化，并不等于企业缺乏前瞻性。

跟价规则怎样改变低价均衡

作者首先将可选价格限制为两个：竞争价格 $p_C$ 与垄断价格 $p_M$。后者指双方共同采用时使合计利润最大的价格，并不意味着市场上只剩下一家企业。

两价格模型的利润排序具有囚徒困境结构：

$$\begin{aligned} \pi(p_M,p_C)&<\pi(p_C,p_C)\\ &<\pi(p_M,p_M)<\pi(p_C,p_M) \end{aligned}$$

共同维持高价比共同维持低价更有利，但面对高价对手，自己单独降价能够获得更高利润；面对低价对手，自己保持高价又更不利。因此，在直接选择价格的单次博弈中，双方低价构成唯一的纳什均衡。模型还要求，共同垄断定价时的双方合计利润，高于一高一低时的合计利润。

当决策对象变为算法，两种价格恰好对应四种确定性规则：

规则	对手报低价时	对手报高价时
恒定低价 $s_C$	低价	低价
恒定高价 $s_M$	高价	高价
跟价 $s_T$	低价	高价
反向跟价 $s_R$	高价	低价

理解主要机制，可以从恒定低价与跟价的区别入手。

假设企业 A 使用恒定低价规则。企业 B 此时选择恒定低价或跟价，都会得到双方低价的阶段结果。但 B 采用跟价规则之后，A 下一次获得修改机会时所面对的激励已经不同。

如果 B 继续保持恒定低价，A 单独提高报价，就会面对一个持续低价的竞争者。如果 B 采用跟价规则，A 提高报价则可以引起 B 跟进。模型允许修改算法的一方先手动设置最初几个报价，再将执行交给算法；通过适当选择起始价格和跟价规则，A 可以将双方带入共同高价状态。

于是，B 今天选择跟价，既能保留当前双方低价的收益，又能改变 A 下一阶段的最优选择。在作者刻画的均衡回应中，这形成了从恒定低价到跟价、继而进入共同高价的承诺链。

这一细节对我理解论文尤其重要：跟价规则同时改变了降价与涨价的后果。单独降价的优势会被迅速追平，单独涨价也可能迅速获得跟随。当初始调价过程的收益影响可以忽略时，企业更关心规则相互作用之后留下的结果。

但展示一条到达高价的路径，还不能证明高价均衡的唯一性。完整分析必须检验其他算法、偏离行为及其后续回应。反向跟价规则也属于策略空间，不能因为它不符合直觉，就在解释中将它排除。

两价格模型究竟证明了什么

论文的定理 1 表明，在基本两价格设定中，始终存在一个最终到达共同垄断价格的马尔可夫完美均衡。在一部分参数范围内，还存在另一类均衡：双方可能在一高一低与一低一高之间交替。

因此，囚徒困境结构本身并不足以保证共同高价是唯一结果。作者进一步给出一个充分条件：

$$\begin{aligned} &\pi(p_M,p_C)+\pi(p_C,p_M)\\ &\qquad\leq\pi(p_M,p_M)+\pi(p_C,p_C) \end{aligned}$$

满足该条件时，双方持续采用垄断价格是唯一的最终均衡结果。论文证明，两类常用的利润函数满足这一条件：线性需求所产生的二次利润函数，以及文中采用的离散选择利润函数。

这里的唯一性针对最终结果。不同的算法选择和调整路径，仍然可能通向同一价格组合；结论也不要求价格从初始时点起就处于垄断水平。

这一结果的理论意义在于，它排除了一个通常可以保留的竞争结果。在直接选择价格的标准重复博弈中，持续重复单次纳什均衡仍可构成均衡。本文改变了行动对象和承诺结构，双方持续停留在竞争价格便不再是收敛的均衡结果。

在上述充分条件下，这一结论适用于模型允许的各个贴现因子值。它的力量来自规则之间的暂时承诺关系，而非仅仅要求企业足够重视遥远的未来。不过，贴现因子会影响调整路径和具体的均衡回应，不能据此将动态结构从模型中删除。

更多价格：从唯一结果转向收益下界

允许企业在竞争价格与垄断价格之间选择更多档位后，算法空间迅速扩大。如果有 $K$ 个价格，每个对手价格都可以映射到 $K$ 种己方价格，因而存在 $K^K$ 条确定性算法。三个价格对应 27 条规则，四个价格已经对应 256 条。

作者在这一扩展中没有证明所有均衡都会收敛到同一个垄断价格组合，而是给出了预期延续收益的下界。

在定理 2 的条件下，双方相关的预期延续收益均不低于竞争基准；至少一家企业的延续收益，最终始终不低于以下表达式：

$$\begin{aligned} &(1-\beta)\,\pi(p_M-\Delta,p_M-\Delta)\\ &\qquad+\beta\,\pi(p_M,p_M) \end{aligned}$$

其中，$\Delta$ 是相邻价格档位的间隔。价格网格越密，或者有效贴现因子越接近 1，这一下界就越接近企业在共同垄断定价时获得的利润。

需要特别注意，结论约束的是包含后续结果的预期收益。它不能直接改写为“每个时点双方报价都接近垄断价格”，也没有保证双方都能取得接近垄断基准的收益。

此外，多价格模型对利润函数施加了进一步的结构条件，并排除了会产生持续价格循环的算法选择。两价格模型允许循环，多价格扩展则明确限制了这一可能性。这项差别影响定理的适用范围，不能在从简化模型走向一般模型时略去。

结论的边界在哪里

我认为，这篇论文最有价值的贡献，是把快速响应与暂时承诺组织成了一个可以严格分析的机制。判断它在现实市场中有多重要，则需要重新考察支撑机制的条件。

首先是规则能否被识别。模型中的算法仅对当前价格作出反应，而现实算法可能同时使用库存、需求预测和内部状态。同一个竞争者报价，在不同时间可能触发不同回应。有限次价格试探是否足以识别规则，不能由简单映射模型替现实市场作答。作者也将更复杂状态空间下的学习留给后续研究。

其次是承诺能否维持。企业在什么情况下会人工覆盖报价，多久会重新配置算法，异常监控或促销安排是否改变原有规则，都会影响对手能否将当前算法视为可靠的行动依据。在经验层面，算法的执行速度与规则修改频率应该分别观察。

第三是均衡概念。马尔可夫策略把决策限定在对手当前算法上，使问题保持可分析性，也排除了利用完整历史的复杂策略。论文讨论了允许历史依赖的子博弈完美均衡扩展：当有效贴现因子较高时，可能出现更丰富的均衡收益集合。因而，马尔可夫均衡中的唯一性不能无条件推广到所有动态策略。

最后，理论结果与经验识别承担不同任务。本文没有直接估计某个市场使用算法后涨价多少，也不能证明某个平台上的高价由这条承诺链造成。成本、需求和市场结构的变化，都可能影响观察到的价格。经验研究需要识别规则互动的独立作用。

这些限制同时给出了进一步研究的方向。若要寻找本文机制的现实证据，我会关注一次价格试探之后，对手响应有多快；这种响应是否稳定；以及在重新设置算法之后，双方的价格关系是否发生可识别的变化。

算法作为一种市场互动安排

从技术与社会的关系看，本文提供了一个具体的分析视角：算法参与组织承诺，也参与改变其他行动者的选择空间。

企业将一套条件性回应交给程序持续执行，对手便可能围绕这套回应安排自己的行为。即使企业之间没有直接协商，规则的可观察性、可识别性与相对稳定性，仍然可以产生相互适应。在这个意义上，软件的经济作用包含了它对市场互动结构的改变。

这也要求谨慎使用“合谋”一词。作者用它描述超出竞争基准的经济结果。这样的结果是否构成法律上的违法合谋，还涉及不同的认定条件，无法从本文的均衡定理直接推出。

我从这篇论文得到的主要认识，是分析定价技术时，应当同时考察规则的执行方式，以及其他参与者如何回应这条规则。更快的计算和执行能力进入市场之后，究竟强化竞争还是帮助维持高价，要通过这种相互回应才能得到解释。本文在一组清晰条件下给出了后者的机制，也使“算法改变了什么”成为一个能够继续追问的问题。

参考文献

1. Lamba, Rohit, and Sergey Zhuk. 2026. “Pricing with Algorithms.” American Economic Review: Insights, 8(3): 320–340. 论文与补充材料。